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2015年考研數學一大綱原文(完整版)

2015-04-14 04:25  點擊量:

2015年考研數學(一)考試大綱

2015年數學一考試大綱
考試科目:高等數學、線性代數、概率論與數理統計

考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分爲150分,考試時間爲180分鍾.
二、答題方式
答題方式爲閉卷、筆試.
三、試卷內容結構
高等教學  約56%
線性代數  22%
概率論與數理統計 22%
四、試卷題型結構
單選題 8小題,每小題4分,共32
填空題 6小題,每小題4分,共24
解答題(包括證明題) 9小題,共94

高等數學
一、函數、極限、連續
考試內容
函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 複合函數、反函數、分段函數和隱函數 基本初等函數的性質及其圖形 初等函數 函數關系的建立
數列極限與函數極限的定義及其性質 函數的左極限和右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關系 無窮小量的性質及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個准則:單調有界准則和夾逼准則 兩個重要極限:
函數連續的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續性 閉區間上連續函數的性質
考試要求
1.理解函數的概念,掌握函數的表示法,會建立應用問題的函數關系.
2.了解函數的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3.理解複合函數及分段函數的概念,了解反函數及隱函數的概念.
4.掌握基本初等函數的性質及其圖形,了解初等函數的概念.
5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念壹s昂薮嬖谟胱蠹蕖⒂壹拗涞墓叵担
6.掌握極限的性質及四則運算法則.
7.掌握極限存在的兩個准則,並會利用它們求極限,掌握利用兩個重要極限求極限的方法.
8.理解無窮小量、無窮大量的概念,掌握無窮小量的比較方法,會用等價無窮小量求極限.
9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續),會判別函數間斷點的類型.
10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性,理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),並會應用這些性質.
二、一元函數微分學
考試內容
導數和微分的概念 導數的幾何意義和物理意義 函數的可導性與連續性之間的關系 平面曲線的切線和法線 導數和微分的四則運算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数壹s安问匠趟范ǖ暮奈⒎址ā「呓椎际 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必達(L'Hospital)法則 函數單調性的判別 函數的極值 函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數圖形的描繪 函數的最大值與最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圓與曲率半徑
考試要求
1.理解導數和微分的概念,理解導數與微分的關系,理解導數的幾何意義,會求平面曲線的切線方程和法線方程,了解導數的物理意義,會用導數描述一些物理量,理解函數的可導性與連續性之間的關系.
2.掌握導數的四則運算法則和複合函數的求導法則,掌握基本初等函數的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性,會求函數的微分.
3.了解高階導數的概念,會求簡單函數的高階導數.
4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数壹s胺春牡际
5.理解並會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解並會用柯西(Cauchy)中值定理.
6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.
7.理解函數的極值概念,掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法,掌握函數最大值和最小值的求法及其應用.
8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间 内,设函数 具有二階導數.当 时, 的图形是凹的;当 时, 的图形是凸的),会求函数图形的拐点壹s八健⑶χ焙托苯ソ撸崦杌婧耐夹危
9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念,会计算曲率和曲率半径.
三、一元函數積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 積分上限的函數及其導數 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 反常(廣義)積分 定積分的應用
考試要求
1.理解原函數的概念,理解不定積分和定積分的概念.
2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部積分法.
3.會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.
4.理解積分上限的函數,會求它的導數,掌握牛頓-萊布尼茨公式
5.了解反常積分的概念,會計算反常積分.
6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積爲已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平均值.
四、向量代數和空間解析幾何
考試內容
向量的概念 向量的線性運算 向量的數量積和向量積 向量的混合積 兩向量垂直、平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標表達式及其運算 單位向量 方向數與方向余弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程 直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角壹s捌叫小⒋怪钡奶跫〉愕狡矫婧點到直線的距離 球面 柱面 旋轉曲面 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的參數方程和一般方程 空間曲線在坐標面上的投影曲線方程
考試要求
1.理解空間直角坐標系,理解向量的概念及其表示.
2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量積、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件.
3.理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式,掌握用坐標表達式進行向量運算的方法.
4.掌握平面方程和直線方程及其求法.
5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角,並會利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等))解決有關問題.
6.会求点到直线壹s暗愕狡矫娴木嗬耄
7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念.
8.了解常用二次曲面的方程及其圖形,會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程.
9.了解空間曲線的參數方程和一般方程.了解空間曲線在坐標平面上的投影,並會求該投影曲線的方程.
五、多元函數微分學
考試內容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件
多元複合函數、隱函數的求導法 二階偏導數 方向導數和梯度 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 二元函數的二階泰勒公式 多元函數的極值和條件極值 多元函數的最大值、最小值及其簡單應用
考試要求
1.理解多元函數的概念,理解二元函數的幾何意義.
2.了解二元函数的极限与连续的概念壹s坝薪绫涨蛏狭男灾剩
3.理解多元函數偏導數和全微分的概念,會求全微分,了解全微分存在的必要條件和充分條件,了解全微分形式的不變性.
4.理解方向導數与梯度的概念,并掌握其计算方法.
5.掌握多元複合函數一階、二階偏導數的求法.
6.了解隱函數存在定理,會求多元隱函數的偏導數.
7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念,會求它們的方程.
8.了解二元函數的二階泰勒公式.
9.理解多元函數極值和條件極值的概念,掌握多元函數極值存在的必要條件,了解二元函數極值存在的充分條件,會求二元函數的極值,會用拉格朗日乘數法求條件極值,會求簡單多元函數的最大值和最小值,並會解決一些簡單的應用問題.
六、多元函數積分學
考試內容
二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用 兩類曲線積分的概念、性質及計算 兩類曲線積分的關系 格林(Green)公式 平面曲線積分與路徑無關的條件 二元函數全微分的原函數 兩類曲面積分的概念、性質及計算 兩類曲面積分的關系 高斯(Gauss)公式 斯托克斯(Stokes)公式 散度、旋度的概念及計算 曲線積分和曲面積分的應用
考試要求
1.理解二重積分、三重積分的概念,了解重積分的性質,,了解二重積分的中值定理.
2.掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標),會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).
3.理解兩類曲線積分的概念,了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.
4.掌握計算兩類曲線積分的方法.
5.掌握格林公式並會運用平面曲線積分與路徑無關的條件,會求二元函數全微分的原函數.
6.了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系,掌握計算兩類曲面積分的方法,掌握用高斯公式計算曲面積分的方法,並會用斯托克斯公式計算曲線積分.
7.了解散度與旋度的概念,並會計算.
8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等).
七、無窮級數
考試內容
常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函數的傅裏葉(Fourier)系數與傅裏葉級數 狄利克雷(Dirichlet)定理 函数在 上的傅里叶级数 函数在 上的正弦级数和余弦级数
考試要求
1.理解常数项级数收敛、发散壹s笆樟布妒暮偷母拍睿莆占妒幕拘灾始笆樟驳谋匾跫
2.掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件.
3.掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法,會用根值判別法.
4.掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.
5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念壹s熬允樟灿胧樟驳墓叵担
6.了解函數項級數的收斂域及和函數的概念.
7.理解冪級數收斂半徑的概念,並掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.
8.了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分),會求一些冪級數在收斂區間內的和函數,並會由此求出某些數項級數的和.
9.了解函數展開爲泰勒級數的充分必要條件.
10.掌握麥克勞林(Maclaurin)展開式,會用它們將一些簡單函數間接展開爲冪級數.
11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式.
八、常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉(Euler)方程 微分方程的簡單應用
考試要求
1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.
2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法.
3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程,會用簡單的變量代換解某些微分方程.
4.会用降阶法解下列形式的微分方程: 和 .
5.理解線性微分方程解的性質及解的結構.
6.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法,並會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程.
7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数壹s八堑暮陀牖亩壮O凳瞧氪蜗咝晕⒎址匠蹋
8.會解歐拉方程.
9.會用微分方程解決一些簡單的應用問題.

線性代數
一、行列式
考試內容
行列式的概念和基本性質 行列式按行(列)展開定理
考試要求
1.了解行列式的概念,掌握行列式的性質.
2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式.
二、矩陣
考試內容
矩陣的概念 矩陣的線性運算 矩陣的乘法 方陣的冪 方陣乘積的行列式 矩陣的轉置 逆矩陣的概念和性質 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 初等矩陣 矩陣的秩 矩陣的等價 分塊矩陣及其運算
考試要求
1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵壹s八堑男灾剩
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置壹s八堑脑怂愎媛桑私夥秸蟮拿萦敕秸蟪嘶男辛惺降男灾剩
3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质壹s熬卣罂赡娴某浞直匾跫斫獍樗婢卣蟮母拍睿嵊冒樗婢卣笄竽婢卣螅
4.理解矩陣初等變換的概念,了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念,理解矩陣的秩的概念,掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.
5.了解分塊矩陣及其運算.
三、向量
考試內容
向量的概念 向量的線性組合與線性表示 向量組的線性相關與線性無關 向量組的極大線性無關組 等價向量組 向量組的秩 向量組的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空間及其相關概念 維向量空間的基變換和坐標變換 过渡矩阵 向量的内积 線性無關向量組的正交規範化方法 規範正交基 正交矩陣及其性質
考試要求
1.理解 维向量、向量的線性組合與線性表示的概念.
2.理解向量組線性相關、線性無關的概念,掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.
3.理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念,会求向量組的極大線性無關組及秩.
4.理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量組的秩之间的关系.
5.了解 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.
6.了解基變換和坐標變換公式,會求過渡矩陣.
7.了解內積的概念,掌握線性無關向量組正交規範化的施密特(Schmidt)方法.
8.了解規範正交基、正交矩阵的概念壹s八堑男灾剩
四、線性方程組
考試內容
線性方程組的克拉默(Cramer)法則 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 線性方程組解的性質和解的結構 齊次線性方程組的基礎解系和通解 解空間 非齊次線性方程組的通解
考試要求
1.會用克拉默法則.
2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件.
3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空間的概念,掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.
4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念.
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.
五、矩陣的特征值和特征向量
考試內容
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質 相似變換、相似矩陣的概念及性質 矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣 實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣
考試要求
1.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質,會求矩陣的特征值和特征向量.
2.理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件,掌握將矩陣化爲相似對角矩陣的方法.
3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質.
六、二次型
考試內容
二次型及其矩陣表示 合同變換與合同矩陣 二次型的秩 慣性定理 二次型的標准形和規範形 用正交變換和配方法化二次型爲標准形 二次型及其矩陣的正定性
考試要求
1.掌握二次型及其矩陣表示,了解二次型秩的概念,了解合同變換與合同矩陣的概念,了解二次型的标准形、规范形的概念壹s皯T性定理.
2.掌握用正交變換化二次型爲標准形的方法,會用配方法化二次型爲標准形.
3.理解正定二次型、正定矩陣的概念,並掌握其判別法.

概率論與數理統計
一、隨機事件和概率
考試內容
隨機事件與樣本空間 事件的關系與運算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的獨立性 獨立重複試驗
考試要求
1.了解樣本空間(基本事件空間)的概念,理解隨機事件的概念,掌握事件的關系及運算.
2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性質,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式壹s氨匆端梗Bayes)公式.
3.理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解獨立重複試驗的概念,掌握计算有关事件概率的方法.
二、隨機變量及其分布
考試內容
隨機變量 隨機變量分布函数的概念及其性质 离散型隨機變量的概率分布 连续型隨機變量的概率密度 常见隨機變量的分布 隨機變量函数的分布
考試要求
1.理解隨機變量的概念,理解分布函数 的概念及性质,会计算与隨機變量相联系的事件的概率.
2.理解离散型隨機變量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布 及其应用.
3.了解泊松定理的結論和應用條件,會用泊松分布近似表示二項分布.
4.理解连续型隨機變量及其概率密度的概念,掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用,其中参数为 的指数分布 的概率密度为
5.会求隨機變量函数的分布.
三、多维隨機變量及其分布
考試內容
多维隨機變量及其分布 二维离散型隨機變量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型隨機變量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 隨機變量的独立性和不相关性 常用二维隨機變量的分布 两个及两个以上隨機變量简单函数的分布
考試要求
1.理解多维隨機變量的概念,理解多维隨機變量的分布的概念和性质,理解二维离散型隨機變量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维连续型隨機變量的概率密度、边缘密度和条件密度,会求与二维隨機變量相关事件的概率.
2.理解隨機變量的独立屑s安幌喙匦缘母拍睿莆针S機變量相互独立的条件.
3.掌握二维均匀分布,了解二维正态分布 的概率密度,理解其中参数的概率意义.
4.会求两个隨機變量简单函数的分布,会求多个相互独立隨機變量简单函数的分布.
四、隨機變量的数字特征
考試內容
隨機變量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 隨機變量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质
考試要求
1.理解隨機變量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.
2.会求隨機變量函数的数学期望.
五、大數定律和中心極限定理
考試內容
切比雪夫(Chebyshev)不等式 切比雪夫大數定律 伯努利(Bernoulli)大數定律 辛欽(Khinchine)大數定律 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理 列維-林德伯格(Levy-Lindberg)定理
考試要求
1.了解切比雪夫不等式.
2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布隨機變量序列的大数定律).
3.了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列維-林德伯格定理(独立同分布隨機變量序列的中心极限定理).
六、數理統計的基本概念
考試內容
總體 個體 簡單隨機樣本 統計量 樣本均值 樣本方差和樣本矩 分布 分布 分布 分位數 正态總體的常用抽样分布
考試要求
1.理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为
2.了解 分布、 分布和 分布的概念及性质,了解上侧 分位數的概念并会查表计算.
3.了解正态總體的常用抽样分布.
七、參數估計
考試內容
點估計的概念 估計量與估計值 矩估計法 最大似然估計法 估計量的評選標准 區間估計的概念 单个正态總體的均值和方差的区间估计 两个正态總體的均值差和方差比的区间估计
考試要求
1.理解参数的点估计、估計量與估計值的概念.
2.掌握矩估計法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估計法.
3.了解估計量的無偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,並會驗證估計量的無偏性.
4、理解區間估計的概念,会求单个正态總體的均值和方差的置信区间,会求两个正态總體的均值差和方差比的置信区间.
八、假設檢驗
考試內容
显著屑s煅 假設檢驗的兩類錯誤 单个及两个正态總體的均值和方差的假设检验
考試要求
1.理解显著屑s煅榈幕舅枷耄莆占偕杓煅榈幕静街瑁私饧偕杓煅榭赡懿牧嚼啻砦螅
2.掌握单个及两个正态總體的均值和方差的假设检验.